Ta ostatnia równość nie jest jednak możliwa, gdyż liczba 2m jest parzysta, a liczba 3n nieparzysta. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że liczba log 2 3 nie jest liczbą wymierną. 49. Dowieść, że liczba log 12 18 jest niewymierna. 50. Dowieść, że liczba √ 15 jest niewymierna. Lista 2 - 5 - Strony 5-14 a) Skala podobieństwa, w której kwadrat o polu 36 j² jest podobny do kwadratu o polu 49j². b) Największa ujemna liczba trzycyfrowa. c) Liczba odwrotna do 0,125. d) Największy wspólny dzielnik liczb 630 i 420. e) Mianownik najmniejszej z wymienionych liczb: −1 9; −1 7; −1 5; −1 3. f) Liczba π z dokładnością do 0,01. Przykładem liczby rzeczywistej jest dowolna liczba wymierna lub niewymierna. Są to więc na przykład liczby: 0, 1, 12347593, -4564, f r a c 1 2, 0,445, 3, (3), π, 2, 5, 1 − 2 2, e (podstawa logarytmu naturalnego) i nieskończenie wiele innych liczb. Co więcej, liczb rzeczywistych między dwiema liczbami naturalnymi, na przykład 0 i 1 Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność(5-x)(5+x)> (11.11) to jaki dzień tygodnia bedzię za rok jeśli nastepny rok jest przestępny? Liczby niewymierne, to takie liczby których nie można zapisać za pomocą ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy literami IQ. Sumą zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych jest zbiór liczb rzeczywistych R. Zależności pomiędzy Największa potęga i najmniejsza reszta # 2016-04-09 17:43; Problem z największą, najmniejszą liczbą w procedurach 2013-03-15 00:11; Znajdowanie numeru kolumny z największą i najmniejszą średnią tablicy 2-wymiarowej 2019-06-30 18:45; tablica z liczbami rzeczywistymi, a najwieksza i najmniejsza z tych liczb 2011-02-17 19:00 OwgaAXz. Co w tym rozdziale ?Liczby rzeczywiste – co to takiego ?Liczby rzeczywiste – przykładyLiczby naturalneLiczby całkowiteLiczby wymierneLiczby niewymierneLiczby parzysteLiczby nieparzysteLiczby przeciwneLiczby odwrotneLiczby pierwszeLiczby złożoneLiczba piNotacja wykładniczaUłamkiProcentyJakim procentem jednej liczby jest druga liczbaUstalenie liczby na podstawie jej procentuProcent składanyPotęgiPierwiastkiNWWNWDUsuwanie niewymierności z mianownikaLogarytmyWartość bezwzględnaRównanie z wartością bezwzględnąNierówności z wartością bezwzględnąZbioryOś liczbowaJak określić współrzędne punktów A,B,C,D,EPodsumowanie Liczby rzeczywiste – co to takiego ? Liczby rzeczywiste jest to zbiór, który składa się z sumy dwóch zbiorów: zbioru liczb wymiernych oraz zbioru liczb rzeczywiste Liczby rzeczywiste – przykłady Zbiór liczb rzeczywistych jest największym zbiorem występującym w matematyce, dlatego też do tego zbioru należy każda liczba np:1,5,9,\frac{5}{7},π, Ogólnie takich liczb jest nieskończenie wiele. Spełniają aksjomat ciągłości, to znaczy, że nie występują luki pomiędzy liczbami na osi liczbowej. Liczby naturalne Liczby naturalne to liczby całkowite, dodatnie:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N. Możemy więc zapisać:N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...\} Liczby całkowite Zbiór liczb całkowitych jest to zbiór liczb naturalnych jak i zbiór liczb przeciwnych do nich, wliczamy tu również liczbę zero. Zatem można zapisać, że liczby całkowite są to:...,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,... Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem = \{...,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...\} Można wyróżnić zbiór liczb całkowitych dodatnich jak i ujemnych: Liczby wymierne Liczby wymierne to takie liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego:\frac{n}{m} n oraz m są liczbami całkowitymi, należy pamiętać że m musi być różne od 0 (m≠0) Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Liczby niewymierne Liczby niewymierne to takie liczby, które nie można zapisać za pomocą ułamka zwykłego. Liczby te tworzą wraz z liczbami wymiernymi zbiór liczb rzeczywistych R. Przykłady liczb niewymiernych:\sqrt{3}, \sqrt{5}, 3\sqrt{3}, π Liczby parzyste Liczby parzyste to takie liczby całkowite, które dają się podzielić przez dwa bez reszty. Wzór na liczbę parzystą ma postać:2k dla k∈C Przykładami liczb parzystych są:...,-42,−2,0,6,10,18,48,100,180,... Liczby nieparzyste Liczby nieparzyste, to takie liczby całkowite, które nie dają się podzielić przez dwa bez reszty. Resztą z dzielenia jest jeden. Ogólny wzór na każdą liczbę parzystą jest więc następujący:2k+1 dla k∈C Co ciekawe suma dwóch liczba nieparzystych będzie liczba parzystą, natomiast iloczyn dwóch liczb nieparzystych będzie liczbą nieparzystą. Przykłady liczb nieparzystych:...,−13,−1,1,9,17,33,101,... Liczby przeciwne Liczby przeciwne, to dwie takie liczby, których suma wynosi zero. Najprościej mówiąc jedna liczba jest do drugiej przeciwna, jeśli ma taką samą wartość, lecz przeciwny znak. Przykłady liczb przeciwnych:Liczba 1 jest przeciwna do −1, gdyż 1+(−1)=0Liczba \frac{1}{3} jest przeciwna do -\frac{1}{3}, gdyż \frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})=0Liczba −π jest przeciwna do π, gdyż −π+π=0 Liczby odwrotne Liczba odwrotna do danej liczby a, to taka liczna b, że a∗b=1. Jeszcze prościej mówiąc: Liczba odwrotna do liczby a, to liczba \frac{1}{a}, gdyż a∗\frac{1}{a}=1. Przykłady:Liczba odwrotna do liczby 3, to \frac{1}{3}, gdyż 3∗\frac{1}{3}=1Liczba odwrotna do liczby \frac{7}{8}, to \frac{8}{7}, gdyż \frac{7}{8}∗\frac{8}{7}=1Liczba odwrotna do liczby \sqrt{3}, to \frac{1}{\sqrt{3}}, gdyż \sqrt{3}∗\frac{1}{\sqrt{3}}=1 Liczby pierwsze Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od jeden, które dzielą się tylko przez jeden i samą siebie. Zbiór liczb pierwszych w przedziale od 1 do 100 jest następujący:x∈\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97\} Liczby złożone Liczby złożone to liczby naturalne większe od jeden, które mają więcej niż dwa dzielniki. W związku z tym każda liczba większa od jeden nie będąca liczbą pierwszą jest liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych:4,6,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,... dlatego, że:4=2∗26=3∗29=3∗310=5∗212=6∗2=3∗2∗2 Liczba pi Liczba π, to liczba wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy. Liczba π w przybliżeniu jest równa:π≈3,1415926536.... Liczba π jest liczbą niewymierną i przestępną. Notacja wykładnicza Aby zapisać liczbę w notacji wykładniczej musimy skorzystać ze wzoru:a⋅10^n gdzie: a – jest to liczba rzeczywista z przedziału 0) Wzory działań na potęgacha^m⋅a^n=a^{m+n} \frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} a^n⋅b^n=(a⋅b)^n \frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n (a^m)^n=a^{m⋅n} Pierwiastki Pierwiastkowanie liczb jest to działanie arytmetyczne odwrotne do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby nieujemnej a, to taka liczba nieujemna b, która spełnia następującą równość b^n=a. Pierwiastek zapisujemy symbolem \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{a}=b⇔b^n=a gdzie: a – liczba pierwiastkowana, n – stopień pierwiastka, b – pierwiastek n-go stopnia z liczby a – wynik pierwiastkowania. Wzory działań na pierwiastkach\sqrt{a}*\sqrt{b} = \sqrt{a*b}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\sqrt{a^2} = |a| NWW Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) jest związana tylko z liczbami naturalnymi. Jest to taka najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez te dowolne liczby naturalne. Najmniejsza wspólna wielokrotność najczęściej używana jest w znajdowaniu wspólnego mianownika. Przykład: Mając liczby 3 i 4 można wypisać ich wielokrotności w następujący sposób: wielokrotności liczby 3 – 3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;33;36;⋯, wielokrotności liczby 4 – 4;8;12;16;20;24;28;32;36;⋯, Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest najmniejsza z zaznaczonych liczb czyli 12. NWW(3;4)=12 Jak obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność? Obie liczby należy rozłożyć na czynniki pierwsze, następnie zakreślić czynniki, które się powtarzają w obu rozkładach, potem bierzemy pierwszą liczbę i czynniki niezakreślone z drugiego rozkładu i mnożymy przez siebie. 12 | (2) 6 | 2 3 | (3) 1 | 30 |(2) 15 |(3) 5 | 5 1 | NWW(12;30) = 12 * 5 = 60 lub NWW(12;30) = 30 * 2 = 60 NWD Największy wspólny dzielnik (NWD) – jest to liczba naturalna, przez którą można podzielić dowolną parę liczb całkowitych, tak aby z dzielenia nie została reszta. Jak znajduje się największy wspólny dzielnik? Mając dwie liczby, rozkładamy je na czynniki pierwsze, potem wybieramy te, które się powtarzają w obu liczbach i mnożymy je przez siebie. Przykład: NWD(54; 36): 54 | (2) 27 | (3) 9 | (3) 3 | 3 1 | 36 | (2) 18 | 2 9 | (3) 3 | (3) 1 | NWD(54; 36) = 2 * 3 * 3= 18 Usuwanie niewymierności z mianownika Usuwanie niewymierności z mianownika – jest to proces polegający na usunięciu pierwiastków z mianownika ułamka. Najczęściej wykonujemy to mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę. Najlepszy będzie przykład:\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2*\sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} Logarytmy Logarytm – przy podstawie a z liczby b oznacza taką liczbę c, będącą potęgą, do której podstawa logarytmu a musi być podniesiona, aby dać liczbę logarytmowaną b, czyli:log_ab=c⇔a^c=b Logarytm dziesiętny – to taki logarytm, którego podstawą jest liczba 10. W zapisie logarytmu dziesiętnego pomija się podstawę logarytmu, zapisując log_x lub lg_x, co jest równoznaczne z log_{10} Logarytm naturalny – to taki logarytm, którego podstawą jest liczba e równa w przybliżeniu 2,718281828. Logarytm naturalny zapisujemy jako lnx, co jest równoznaczne z wzory: Jeżeli a>0,a≠1,b>0 oraz c>0, to:log_ab+log_ac=log_a(b⋅c)log_ab−log_ac=log_a(\frac{b}{c})n⋅log_ab=log_a(b^n)=log_{a^{\frac{1}{n}}}ba^{log_ab}=blog_ab=\frac{log_cb}{log_ca} Wartość bezwzględna Wartością bezwzględną – dowolnej liczby rzeczywistej x jest: – ta sama liczba rzeczywista x, gdy x≥0 – liczba −x (przeciwna do x), gdy x. W obu przypadkach domykamy nawiasy ze względu na znak mniejszy-równy (≤) oraz więszky-równy(≥). Zbiory Zbiór – to pewna całość złożona z pewnej ilości obiektów, tymi obiektami mogą być liczby całkowite, książki na regale, buty w szafce i wiele innych. Zbiory oznaczamy zawsze wielkimi literami alfabetu. Każdy zbiór składa się z elementów, elementy oznaczamy małymi literami. Wyjątkiem jest zbiór pusty, który nie zawiera żadnego elementu. Przykłady zbiorów:Suma zbiorów – A∪BSuma zbiorówIloczyn zbiorów – A∩BIloczyn zbiorówRóżnica zbiorów – A\BRóżnica zbiorów A\BRóżnica zbiorów – B\ARóżnica zbiorów B\AZbiór – AZbiór AZbiór – BZbiór BZbiór pusty – A∩B = ØZbiór pusty Własności zbiorów: – przemienność sumy zbiorów A ∪ B = B ∪ A – łączność sumy zbiorów (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) – rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – przemienność iloczynu zbiorów A ∩ B = B ∩ A – rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – łączność iloczynu zbiorów (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) – prawa de Morgana dla zbiorów (A ∪ B)' = A' ∩ B' oraz (A ∩ B)' = A' ∪ B' Oś liczbowa Prostą, na której obrano punkt zerowy, jednostkowy (odległość między punktem zerowym a jednostkowym jest równa 1) oraz jeden ze zwrotów tej prostej uznano za dodatni nazywamy osią liczbową. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Liczbę x przyporządkowaną punktowi P na osi liczbowej nazywamy współrzędną punktu P na tej rzeczywiste – wykres Jak określić współrzędne punktów A,B,C,D,E Ponieważ punkt E jest oddalony od punktu zerowego o dwie i pół jednostki w kierunku osi liczbowej, jego współrzędna wynosi 2,5. Punkt C jest oddalony o jedną jednostkę (współrzędna zatem jest równa 1). Punkt B (podobnie jak punkt C) jest również oddalony od punktu zerowego o jedną jednostkę, ale w stronę przeciwną niż wynosi zwrot osi liczbowej, współrzędną punktu B jest zatem liczba -1. Współrzędna punktu A jest liczba -2, a punktu D liczba 0,5. Nasuwa się pytanie czy zero jest liczbą rzeczywistą? Tak, zero jest liczbą rzeczywistą. Należy przy tym także do zbioru liczb wymiernych, całkowitych i naturalnych (w zależności od przyjętej umowy). Wykonalność działań w zbiorze liczb rzeczywistych W zbiorze liczb rzeczywistych wykonalne są wszystkie podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, za wyjątkiem dzielenia przez zero. Podsumowanie Jest to największy zbiór występujący w matematyce, można go znaleźć w każdym dziale matematyki jaki poznajemy w szkole. Umiejętność wykorzystywania znajomości rozróżniania zbiorów przydaje się w dalszych etapach kształcenia. W ramach przyswojenia nowej wiedzy gorąco zapraszam do zapoznania się z zadaniami również:Zadania zamknięteĆwiczenia krótkiej odpowiedziZadania otwarte Szczegóły Odsłony: 4044 Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych R Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N Zbiór N jest zbiorem nieskończonym, w którym nie ma liczby największej, natomiast najmniejsza liczba to 0. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą C Zbiór C jest zbiorem nieskończonym, w którym nie ma liczby ani największej ani najmniejszej. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W. Zbiór W to zbiór takich liczb, które można przedstawić w postaci , gdzie oraz są liczbami całkowitymi i , co zapisujemy: Jeśli dany jest ułamek , to nazywamy licznikiem ułamka, a mianownikiem ułamka. Jeśli licznik ułamka podzielimy przez jego mianownik to otrzymamy rozwinięcie dziesiętne ułamka np.: Okres rozwinięcia dziesiętnego jest to najmniejsza, powtarzająca się po przecinku grupa cyfr. Dla ułamka okres składa się tylko z cyfry 2, dla ułamka okres ma 6 cyfr: . Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy literami NW. Zbiór NW jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, które nie są wymierne np.: Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe. Definicja 1. Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nazywamy: - liczbę jeśli jest liczbą nieujemną, - liczbę przeciwną do jeśli jest liczbą ujemną. Wartość bezwzględną liczby zapisujemy , wówczas Przykład 1. Geometryczną interpretacją zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Oś liczbowa jest to prosta o dodatnim zwrocie, który wskazuje kierunek, w którym wzrastają liczby. Każdej liczbie rzeczywistej, odpowiada na osi liczbowej tylko jeden punkt i każdemu punktowi na osi odpowiada tylko jedna liczba rzeczywista. Obejrzyj rozwiązanie: Zbiory liczbowe. Oś liczbowa - definicje, przykłady nierówność lorak: Liczba r jest najmniejszą liczbą rzeczywistą spełniającą nierówność (to jest ułamek w wartości bezwzględnej) |x−√2| |−−−−| ≤ √2 |1−√2| Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby 4 Jak się to robi? 26 sty 18:01 panpawel: 1) usuń wartości bezwględne 26 sty 18:16 panpawel: bezwzględne 26 sty 18:17 pigor: ..., np. tak : |r−√2| ≤ √2 ⇔ |r−√2| ≤ √2|1−√2| ⇔ |r−√2| ≤ √2(−1+√2) ⇔|1−√2| ⇔ |r−√2| ≤ 2−√2 ⇔ −2+√2 ≤ r−√2 ≤ 2−√2 /+√2 ⇔ ⇔ 2√2−1 ≤ r ≤ 2 ⇒ 2√2−1 − szukana najmniejsza liczba R. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 4= 4,000... , więc 3−y pierwsze cyfry to 3 zera, o to chodzi ... 26 sty 18:31 Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem \(\mathbb{R} \). Liczbami rzeczywistymi są np.: \[0,\ 1,\ -3,\ \frac{5}{6},\ \sqrt{2},\ \pi \] Liczby rzeczywisteTu jesteś > Liczby > Rodzaje liczb > Liczby rzeczywiste Każda liczba jest liczbą rzeczywistą. Więc, zbiorem liczb rzeczywistych są wszystkie liczby - wymierne oraz niewymierne. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem $\Bbb{R}$. Liczbami rzeczywistymi są przykładowe liczby: $$1,\sqrt{3},-7,\frac12,\pi,-\sqrt{13}$$

liczba r jest najmniejsza liczba rzeczywista